数学分析（下）#

广义积分#

P46

无穷限#

定义为定积分的极限
积分第二中值定理P54
判断敛散性
- 可以积分的直接积分来观察极限是否存在
- 柯西收敛
- 比较判别法（记得绝对值）
- 与 $1/x^p$ 比较（p>1 收敛， $p \leq 1$ 发散）
- 迪利克雷判别法P57
  - 被积函数= $f(x)*g(x)$
  - f 积分有界
  - g单调趋于零
- 阿贝尔判别法
  - 被积函数= $f(x)*g(x)$
  - f收敛
  - g单调有界

瑕积分#

P61

判断敛散性
- 柯西收敛
- 比较判别法
- 与 $1/(x-a)^p$ 比较（ $p<1$ 收敛， $p \geq 1$ 发散）
- 迪利克雷判别法
  - 被积函数= $f(x)*g(x)$
  - f 积分有界
  - g单调趋于零
- 阿贝尔判别法
  - 被积函数= $f(x)*g(x)$
  - f收敛
  - g单调有界

函数项级数#

P70

函数序列
- 一串函数
函数项级数
- 函数序列对于每个确定x组成的数列
极限函数
- $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$
部分和序列
- 部分和
- 是n的函数
和函数
- 部分和序列的极限
一致收敛
- 级数极限=极限函数在x的取值
- 放心地交换极限次序（ $x \to x_0$ / $n \to +\infty$ ）
- 放心地交换积分和极限的次序
- 放心地交换极限与微商的顺序
判断敛散性（部分和的思想）
- 可以积分的直接积分
- 达朗贝尔判别法
  - 前后两项相除
- 柯西收敛
- 维尔斯特拉斯判别法（M判别法）
  - $|u_k(x)| \leq M_k$
  - $M_k$ 收敛
  - 迪利克雷判别法
    - $a_n b_n$
    - a一致有界
    - b单调趋于零
  - 阿贝尔判别法
    - $a_n b_n$
    - a一致收敛
    - b一致有界，每个b都单调
分析性质
- 逐项可积
  - 求和和积分可交换
- 逐项求导
- 做题：求和函数
  1. 求收敛域2~3‘
  2. 看模板
  3. 有分母先导后积，无分母先积后导
  4. 写出和函数，记得结合实际情况把收敛域写出来

幂级数#

P96

阿贝尔引理
- 收敛点之内收敛
- 发散点之外发散
收敛半径唯一
求收敛半径
- 相邻系数之比的极限
  - 达朗贝尔判别法
  - 求极限确定r
  - 考虑边界
阿贝尔第二引理P101
幂级数的和函数S在收敛区域内
- 逐项微商
- 逐项积分
函数的幂级数展开

傅里叶级数#

P114

三角函数系
- 正交性（任意两个不同函数的乘积在[-\pi, \pi]积分为0）
收敛到傅里叶级数的条件
- 逐段可微
计算傅里叶系数(考题基本上都来自这里P142)
- 对称的2\pi区间上的
  - 判断奇偶——简化
  - $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$
  - $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$
  - $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$
  - $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$
- 非对称的
  - 周期为2L——变量代换x = \frac{l}{x}t
  - 记住延拓完之后，要把x代入回原来的f(x)当中
  - 没有周期
    - 奇延拓
    - 偶延拓

平面点集与多元函数#

P158

平面点集#

概念明确
- 内点：存在邻域在E内
- 外点：存在邻域不在E内
- 边界点：任意邻域都有E的点也有E外的点
- 聚点：任意空心邻域有E内的点
关系
- 内点一定是聚点
- 边界点可能是聚点，也可能是孤立点
常见平面点集
- 开集：所有点都是内点
- 闭集：所有聚点都属于E
- 连通集：任意两点用有线条直线段相连
- （开）区域：连通的开集
- 闭区域：连通的闭集
关系
- 区域总是开集，反之不一定
- 闭区域总是闭集，反之不一定
（威尔斯特拉斯）W.T定理
- 如果点列{(P_n)}有界，那必有收敛子列
- 证明：连续用两次实数的致密性定理来证明（注意下标）
- $P_n = (x_n, y_n)$ 有界， $x_n, y_n$ 都有界。 $x_n$ 有收敛子列 $x_{n_k} \rightarrow x_0$ ，那么 $y_{n_k}$ 也有界，有收敛子列 $y_{n_{k_l}} \rightarrow y_0$ ，那么 $x_{n_{k_l}}$ 是 $x_{n_k}$ 的子列，也收敛于 $x_0$ 。所以有收敛子列
矩形套定理
- 一直缩小，最后所有的矩形交于一点
- 证明：对两个坐标方向分别用区间套定理
有限覆盖定理
- 如果有界闭集F被无限个开区间的集合\sum所覆盖，那么必可从\sum中选取有限个开区间所组成的\sum^*也覆盖F。
- 将无限转化为有限

二元函数#

二元函数的极限问题（全面极限）
- 证明的时候要用极限的定义来证明
- 可以用三角换元，但是要满足保证在所有方向上趋近于原点（角度要取完）
- 证明极限不存在只需要找一个特例
累次极限
- 全面极限和两个累次极限的存在性并无必然联系
- 但当它们存在的时候，极限值有一定的关系
  - 如果三个都存在，那么三者必相等
  - 如果两个累次极限存在但是不相等，那么全面极限必不存在（沿着特殊方向的极限值不同）
二元函数的连续性
- 对于一个二元函数，如果对于任意固定的y是x的一元连续函数，同理，对于任意固定的x是y的一元连续函数，并不能推出这个二元函数是连续的
- 讨论连续性的问题
  - 对于一般点，用定义，初等函数直接带入极限值
  - 对于特殊点（没有定义的点），则要计算在该点的极限，然后看看要不要补充定义
- 复合函数的连续性（同时连续才算连续）
有界闭区域上的连续函数
- 有界
  - 用反证法，假设无界
- 有最大值和最小值
- 一致连续
  1. 设D是一个有界闭集，f(x,y)是定义在D上的二元连续函数。
  2. 根据有界闭集的性质，我们知道D上的任意点列都有收敛的子列，并且子列的极限点仍然在D
  3. 假设 $f(x,y)$ 在 $D$ 上不一致连续，那么存在 $\epsilon_0 > 0$ ，以及点列 $\{(x_n, y_n)\}$ 和 $\{(x_n', y_n')\}$ （ $n=1,2,3,\ldots$ ），满足
  $\lim_{n \to \infty} \sqrt{(x_n - x_n')^2 + (y_n - y_n')^2} = 0$ ，但
  
  $|f(x_n, y_n) - f(x_n', y_n')| \geq \epsilon_0。$
  1. 由于 $D$ 是有界闭集，点列 $\{(x_n, y_n)\}$ 和 $\{(x_n', y_n')\}$ 都有收敛的子列。设 $\{(x_{n_k}, y_{n_k})\}$ 和 $\{(x_{n_k}', y_{n_k}')\}$ 是收敛的子列，且它们的极限分别为 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_0', y_0')$ 。
  2. 根据极限的性质，我们有
  $\lim_{k \to \infty} \sqrt{(x_{n_k} - x_{n_k}')^2 + (y_{n_k} - y_{n_k}')^2} = 0$ ，即 $(x_0, y_0) = (x_0', y_0')$ 。
  1. 由于f(x,y)在D上连续，根据连续函数的性质，我们有
  $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}, y_{n_k}) = f(x_0, y_0) = f(x_0', y_0') = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}', y_{n_k}')$ 。
  1. 但是这与第三步中的结论 $|f(x_n, y_n) - f(x_n', y_n')| \geq \epsilon_0$ 矛盾，因为当 $k$ 足够大时， $|f(x_{n_k}, y_{n_k}) - f(x_{n_k}', y_{n_k}')|$ 应该小于 $\epsilon_0$ 。
  2. 因此，我们的假设——f(x,y)在D上不一致连续——是错误的，所以f(x,y)在D上一致连续。
- 介值定理

偏导数与全微分#

P180

偏导数#

本质：把曲面取一个截面变成曲线，来研究曲线在某个方向的导数

注意：

与一元函数可导就连续不同，二元函数偏导数存在不能完全反映曲面性质
与一元函数可导即可微不同，二元函数必须偏导数连续，才可微

全微分#

$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$

$dz = f_x(x_0, y_0) \Delta x + f_y(x_0, y_0) \Delta y$

二元函数的全微分是函数全该变量的线性主部（这后面在证明的时候有很大用，看变化量与全微分之差是不是距离的无穷小量）

dz其实是关于x, y, dx, dy的四元线性函数

而四者是独立的

所以在求二阶全微分的时候，有d(dx) = d(dy) = 0

题型：判断函数在某一点的可微性
1. 用定理：偏导数存在且在这一点连续
2. 用定义：（用定义）先求出偏导数，注意区分x_0, \Delta x，用全变化减去微分，看是不是o(\rho)
题型：求近似值
1. 确定x_0, y_0, \Delta x, \Delta y
2. 根据微分的定义，写出 $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0) \Delta x + f_y(x_0, y_0) \Delta y$

高阶全微分#

画出树状图

若f_{xy}与f_{yx}都连续则相等

$d^n u = \left( \frac{\partial}{\partial x} dx + \frac{\partial}{\partial y} dy \right)^n f(x, y)$

复合函数与隐函数微分#

题型：直接考察求导
- 画出树状图，用链式法则，注意区分乘法的求导法则
- $du = \frac{\partial u}{\partial s} ds + \frac{\partial u}{\partial t} dt = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} \right) ds + \left( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \right) dt$
题型：复合函数
- 例如 $F(xy, y+z, xz) = 0$ $F (x y, y + z, x z) = 0$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
  1. 假设确定隐函数z = z(x, y)
  2. 方程两边对x和y分别求偏导
  3. 联立方程

几何应用#

求切向量法向量#

曲线
- 曲线只有切向量和法平面
- 切向量 $\overrightarrow{\gamma} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)) = (A, B, C)$
- 如果曲线由两个曲面 $F, G$ 的交线来定义，那么 $\overrightarrow{\gamma} = \left( \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}, \frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}, \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)} \right)$
曲面
- 曲面只有切平面和法向量
- 法向量 $\overrightarrow{n} = (F_x, F_y, F_z) = (A, B, C)$
- 特别的，如果z = f(x, y)那么
共同的部分
- 由一个向量求所在直线方程和垂直的平面方程
- 直线方程（自由度为1，所以要两个方程来限定）： $\frac{x - x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C}$
- 平面方程（自由度为2，所以只需要一个方程）： $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

方向导数#

沿着 $l$ 方向的方向余弦 $l_0 = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$

梯度 $\nabla = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$

方向导数就是给梯度赋权，权值就是方向余弦

所以 $\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla \cdot (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$

泰勒展开#

$f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left( \frac{\partial}{\partial x} dx + \frac{\partial}{\partial y} dy \right)^k f(x_0, y_0) + R$

隐函数存在定理#

P225

单个方程的形式#

如果 $F(x, y)$ 在某一点 $P_0(x_0, y_0)$ 附近满足

$F_x, F_y$ 连续
$F(P_0) = 0$ （通常为初始条件）
$F_y(P_0) \ne 0$ ，那么在 $P_0$ 点附近存在唯一的隐函数 $y = f(x)$ ，且在 $x_0$ 邻域连续，且有连续的导数

方程组的形式#

$F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)$ 满足

对各变元有一阶连续偏导,
$F(P_0) = G(P_0) = 0,$
$J|_{P_0} = \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)} \ne 0$ ，那么在 $P_0$ 附近唯一确定连续的隐函数 $u = u(x, y), v = v(x, y)$ ，且有连续的导数

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \cdot \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = 1$

极值与条件极值#

P241

多元函数的极值#

稳定点——所有偏导数都为0
极值的必要条件
- 所有偏导数都为0
- 注意不是充分条件（z = xy在(0, 0)偏导数都为0，但是在该点附近都有异号的函数值）
D的定义：
- $a_{11} = f_{xx}(x_0, y_0), \space a_{12} = f_{xy}(x_0, y_0), \space a_{22} = f_{yy}(x_0, y_0), \space \\ D = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{matrix} \right|$
极值的判别（考察）
- （在该点的领域内有二阶连续偏导数） $f_x(x_0, y_0) = f_y(x_0, y_0) = 0$ $f_{x} (x_{0}, y_{0}) = f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0$
  - 若 $D > 0$ ，当 $a_{11}(a_{22}) > 0$ 取得极小值；当 $a_{11}(a_{22}) < 0$ 取得极大值。
  - 若D < 0 不是极值点
  - 若D = 0 不能判断
- 证明：用泰勒公式
- 做题：
  1. 求一阶偏导，令偏导为0得到稳定点（注意在求解方程的时候，可能会得到两个未知数之间的关系，这个时候一定要带回方程里完全解出来）
  2. 求二阶偏导，算D
  3. 看 $a_{11}$ 的符号

最小二乘法#

本质上就是给了一个误差函数，求这个误差函数的极小值

$f(a, b) = \sum_{i=1}^{n} (ax_i + b - y_i)^2$ $f (a, b) = \sum_{i = 1}^{n} (a x_{i} + b - y_{i})^{2}$
1. 对他求一阶导，令一阶导数为0，得到方程组
2. 用克拉默法则解方程（注意a和b才是未知数）

多元函数的最值#

一句话：可能的最值点包括可能的极值点和边界点

所以先求出极值点，以及边界值，然后做对比即可

条件极值#

什么叫条件极值
- 在整个空间里的叫做无条件极值
- 有方程约束范围的叫做条件极值
  - 每个（方程）条件就相当于一个隐函数，可以带入消元
  - 思想：化为无条件极值求解

拉格朗日乘数法#

对于上面提到的条件极值

假设 $f(x, y, u, v)$ 在约束条件

\begin{cases} F(x, y, u, v) = 0,\\ G(x, y, u, v) = 0\\ (F, G \text{ 不重}) \end{cases}

下在 $P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 点取极值，那么存在唯一的 $\lambda_1, \lambda_2$ ，使得

\begin{cases} L_x(P_0) = L_y(P_0) = L_u(P_0) = L_v(P_0) = 0,\\ F(P_0) = G(P_0) = 0 \end{cases}

其中 $L = f + \lambda_1 F + \lambda_2 G$

做题
1. 写出拉格朗日函数
2. 求导，令导函数为0
3. 解方程得到稳定点
4. 通过极值的判断条件来判断
  1. 求二阶导数（求之前要用隐函数存在定理确定导数存在）
  2. D
  3. $a_{11}$

含参变量的积分#

P270

一般情况#

首先我们要理解什么叫含参变量的积分

每一个 $[a, b]$ 上固定的 $x_0$ ，对应的 $\int_c^d f(x_0, y) dy$ 都是一个【数】；当 $x$ 变动的时候，就定义了一个【函数】

$I(x) = \int_c^d f(x, y) dy, \quad x \in [a, b]$

参变量为 $x$

性质
- f 连续，I 就连续
- 放心交换积分和极限
- 只要偏导数连续就放心求导I’(x) = \int_c^d f_x(x, y) dy
题型：给你一个含参变量的函数，要求把其他变量消掉
- 大胆对内求导
- 把关于y的积分算出来（消掉y）
- 求x的积分
- 确定常数C
题型：要求主动引入参变量的积分（压轴题）
- 引入参变量\alpha \in [0, 1]，原来的I = I(1)，最好保证I(0) = 0（有利于后面构造积分）
- 对内求导数
- 把关于x的积分算出来
- $I = I(1) = I(1) - I(0) = \int_0^1 I'(\alpha) d\alpha$
- 求出积分即可

积分上下限也依赖于参数x P265#

$I(x, u) = \int_c^u f(x, y) dy$

请尤其关注这个式子

$\frac{d \left(\int_c^x f(t) dt\right)}{dx} = f(x)$

变上限积分的导数为原函数

性质：
- f连续则I连续，放心求导，导函数存在且连续
- 不用担心连续问题：
- $f$ 在 $[a, b] \times [c, d]$ 连续，且 $c(x), d(x)$ 也在 $[a, b]$ 连续，有导数， $c < c(x), d(x) < d$ ，则
$F(x) = \int_{c(x)}^{d(x)} f(x, y) dy$

连续，且

$F'(x) = \int_{c(x)}^{d(x)} f_x(x, y) dy + f(x, d(x)) d'(x) - f(x, c(x)) c'(x)$

（链式法则：分别对 $x$ ， $c$ ， $d$ 求导 + 复合函数求导）
做题：求正常求不出来的积分的导数
性质：放心积分交换次序
- $\int_a^b dx \int_c^d f(x, y) dy = \int_c^d dy \int_a^b f(x, y) dx$

重积分#

P292

三重积分交换次序#

对于 $\int_a^b dx \int_c^d dy \int_e^f f(x, y, z) dz$ $\int_{a}^{b} d x \int_{c}^{d} d y \int_{e}^{f} f (x, y, z) d z$ 的两种理解
- $\int_a^b \left[\iint_{D_z} dx dy\right] dz$ ，即先对特定 $z$ 求切片面积，再对 $z$ 求积分
- $\left[\iint_{D} dx dy\right] \int_{\psi(x, y)}^{\varphi(x, y)} f(x, y, z) dz$ ，即在 $xOy$ 平面投影，作垂线，两个交点，做差，再对投影面积积分
不需要在意原理，只需知道两两可以交换次序（变成二重积分）
- $(\int_a^b dx \int_c^d dy) \int_e^f dz$
- $\int_a^b dx (\int_c^d dy \int_e^f dz)$

三重积分的换元#

关键是雅可比行列式 $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$

曲线与曲面积分#

第一型曲线积分#

可以理解成线密度质量的模型

由于微分转化的时候用的是平方，无方向

做计算题，一般给出的形式为 $\int_L f(x, y, z) ds$ $\int_{L} f (x, y, z) d s$
- 用参数来表示
- $ds = \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} dt$
- 转化为普通定积分

第二型曲线积分#

可以理解成变力做功的模型

dx/dy/dz给定了方向

做计算题，一般给出的形式为 $\int_{L_{ab}} (x^2 + y^2) dx + 4xy dy$ $\int_{L_{ab}} (x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y$
- 寻找参数（可以是极坐标也可以是曲线方程）
- 对参数求导，转化微分
- 带入，转化为普通定积分求解

第一型曲面积分#

最显著的特征在于，积分区域变了，原来是XoY平面，现在变成了某一曲面

可以将函数看作是曲面的面密度（与方向没有任何关系）

思想：将曲面投影到XoY平面，曲面上的一点唯一对应XoY上的一点，面积之比为这个点的梯度。从而转化为熟知的二重积分。

做计算题，一般给出的形式为 $\iint_S xyz ds$ $\iint_{S} x yz d s$
- $\iint_S f(x, y, z) ds = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + z_x^2(x, y) + z_y^2(x, y)} dx dy$
- 转化为重积分解决
如果用参数表示，只需要
- $r_u = \left( \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u} \right) \\ r_v = \left( \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v} \right)$
- $E = r_u \cdot r_u, F = r_u \cdot r_v, G = r_v \cdot r_v$
- $ds = \sqrt{EG - F^2} dx dy$
- 转化为重积分解决
特别地，如果三维的积分区域退化到二维，偏导数项为0， $\iint_S f(x, y, z) ds = \iint_D f(x, y, z(x, y)) dx dy$ ，也就是一个普通的二重积分

第二型曲面积分#

本质上是通过法向量 $\overrightarrow{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 来链接， $\overrightarrow{n} \cdot d\overrightarrow{s} = (dy dz, dz dx, dx dy)$

做计算题，一般给出的形式为 $I = \iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy$ $I = \iint_{S} x d y d z + y d z d x + z d x d y$
- 看有无对称性
- 投影到对应平面
- 消元（用已知量或者方程带入）
- 转化为重积分解决

各种积分之间的联系#

格林公式#

由逐段光滑的曲线围成的单连通区域， $P$ 、 $Q$ 有一阶连续偏导数

$\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \oint_L P dx + Q dy$

补充#

补充克拉默法则
- 对于一个二元一次方程组：
$a_1 x + b_1 y = c_1$ $a_2 x + b_2 y = c_2$

其中 $a_1$ 、 $b_1$ 、 $c_1$ 、 $a_2$ 、 $b_2$ 、 $c_2$ 都是已知的常数，而 $x$ 和 $y$ 是未知数。根据克拉默法则，方程组的解可以通过以下公式来表示：

$x = \frac{D_1}{D}, \quad y = \frac{D_2}{D}$

其中 $D$ 是方程组的系数行列式， $D_1$ 是将方程组的常数列替换掉 $x$ 的系数列所得到的行列式， $D_2$ 是将方程组的常数列替换掉 $y$ 的系数列所得到的行列式。
处理 $\int \sec^3 x dx$
- 我们用分部积分，可以实现降次
$\int \sec^3 x dx = \int \sec x \, d(\tan x) = \sec x \tan x - \int \tan x \, d(\sec x)$

而

$\int \tan x \, d(\sec x) = \int \tan^2 x \sec x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \sec x \, dx = \int (\sec^3 x - \sec x) dx$
- 接下来移项即可

期末考试押题#

2*广义积分
- 迪利克雷/Abel
函数项级数的收敛域
- 根值法
- 达朗贝尔
幂级数的和函数（展开）
1. 收敛域
2. 看模板
3. 有分母微分，无分母积分
4. 结合实际情况写出收敛域（否则扣分
傅里叶级数的展开
- 延拓
求偏导数
- 链式法则
- 方程组
- 隐函数求解法
极值与条件极值
- 拉格朗日乘数法
二元的微分中值定理
重积分
第一、二型曲线积分
- 参数化表示
格林公式
- 积分与路径无关
- 求原函数
第一型曲面积分