数学分析（下）

广义积分

P46

无穷限

• 定义为定积分的极限
• 积分第二中值定理P54
• 判断敛散性
  • 可以积分的直接积分来观察极限是否存在
  • 柯西收敛
  • 比较判别法（记得绝对值）
  • 与$1/x^p$比较（p>1 收敛，$p \leq 1$发散）
  • 迪利克雷判别法P57
    • 被积函数=$f(x)*g(x)$
    • f 积分有界
    • g单调趋于零
  • 阿贝尔判别法
    • 被积函数=$f(x)*g(x)$
    • f收敛
    • g单调有界

瑕积分

P61

• 判断敛散性
  • 柯西收敛
  • 比较判别法
  • 与$1/(x-a)^p$比较（$p<1$ 收敛，$p \geq 1$发散）
  • 迪利克雷判别法
    • 被积函数=$f(x)*g(x)$
    • f 积分有界
    • g单调趋于零
  • 阿贝尔判别法
    • 被积函数=$f(x)*g(x)$
    • f收敛
    • g单调有界

函数项级数

P70

• 函数序列
  • 一串函数
• 函数项级数
  • 函数序列对于每个确定x组成的数列
• 极限函数
  • $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$
• 部分和序列
  • 部分和
  • 是n的函数
• 和函数
  • 部分和序列的极限
• 一致收敛
  • 级数极限=极限函数在x的取值
  • 放心地交换极限次序$（x \to x_0 / n \to +\infty）$
  • 放心地交换积分和极限的次序
  • 放心地交换极限与微商的顺序
• 判断敛散性（部分和的思想）
  • 可以积分的直接积分
  • 达朗贝尔判别法
    • 前后两项相除
  • 柯西收敛
  • 维尔斯特拉斯判别法（M判别法）
    • $|u_k(x)| \leq M_k$
    • $M_k$收敛
    • 迪利克雷判别法
      • $a_n b_n$
      • a一致有界
      • b单调趋于零
    • 阿贝尔判别法
      • $a_n b_n$
      • a一致收敛
      • b一致有界，每个b都单调
• 分析性质
  • 逐项可积
    • 求和和积分可交换
  • 逐项求导
  • 做题：求和函数
    1. 求收敛域2~3‘
    2. 看模板
    3. 有分母先导后积，无分母先积后导
    4. 写出和函数，记得结合实际情况把收敛域写出来

幂级数

P96

• 阿贝尔引理
  • 收敛点之内收敛
  • 发散点之外发散
• 收敛半径唯一
• 求收敛半径
  • 相邻系数之比的极限
    • 达朗贝尔判别法
    • 求极限确定r
    • 考虑边界
• 阿贝尔第二引理P101
• 幂级数的和函数S在收敛区域内
  • 逐项微商
  • 逐项积分
• 函数的幂级数展开

傅里叶级数

P114

• 三角函数系
  • 正交性（任意两个不同函数的乘积在[-\pi, \pi]积分为0）
• 收敛到傅里叶级数的条件
  • 逐段可微
• 计算傅里叶系数(考题基本上都来自这里P142)
  • 对称的2\pi区间上的
    • 判断奇偶——简化
    • $a0 = \frac{1}{\pi} \int{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$
    • $an = \frac{1}{\pi} \int{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$
    • $bn = \frac{1}{\pi} \int{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$
    • $f(x) = a0 + \sum{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$
  • 非对称的
    • 周期为2L——变量代换x = \frac{l}{x}t
    • 记住延拓完之后，要把x代入回原来的f(x)当中
    • 没有周期
      • 奇延拓
      • 偶延拓

平面点集与多元函数

P158

平面点集

• 概念明确
  • 内点：存在邻域在E内
  • 外点：存在邻域不在E内
  • 边界点：任意邻域都有E的点也有E外的点
  • 聚点：任意空心邻域有E内的点
• 关系
  • 内点一定是聚点
  • 边界点可能是聚点，也可能是孤立点
• 常见平面点集
  • 开集：所有点都是内点
  • 闭集：所有聚点都属于E
  • 连通集：任意两点用有线条直线段相连
  • （开）区域：连通的开集
  • 闭区域：连通的闭集
• 关系
  • 区域总是开集，反之不一定
  • 闭区域总是闭集，反之不一定
• （威尔斯特拉斯）W.T定理
  • 如果点列{(P_n)}有界，那必有收敛子列
  • 证明：连续用两次实数的致密性定理来证明（注意下标）
  • $Pn = (x_n, y_n)有界，x_n, y_n都有界。x_n有收敛子列x{nk} \rightarrow x_0，那么y{nk}也有界，有收敛子列y{n{k_l}} \rightarrow y_0，那么x{n{k_l}}是x{n_k}的子列，也收敛于x_0。所以有收敛子列$
• 矩形套定理
  • 一直缩小，最后所有的矩形交于一点
  • 证明：对两个坐标方向分别用区间套定理
• 有限覆盖定理
  • 如果有界闭集F被无限个开区间的集合\sum所覆盖，那么必可从\sum中选取有限个开区间所组成的\sum^*也覆盖F。
  • 将无限转化为有限

二元函数

• 二元函数的极限问题（全面极限）
  • 证明的时候要用极限的定义来证明
  • 可以用三角换元，但是要满足保证在所有方向上趋近于原点（角度要取完）
  • 证明极限不存在只需要找一个特例
• 累次极限
  • 全面极限和两个累次极限的存在性并无必然联系
  • 但当它们存在的时候，极限值有一定的关系
    • 如果三个都存在，那么三者必相等
    • 如果两个累次极限存在但是不相等，那么全面极限必不存在（沿着特殊方向的极限值不同）
• 二元函数的连续性
  • 对于一个二元函数，如果对于任意固定的y是x的一元连续函数，同理，对于任意固定的x是y的一元连续函数，并不能推出这个二元函数是连续的
  • 讨论连续性的问题
    • 对于一般点，用定义，初等函数直接带入极限值
    • 对于特殊点（没有定义的点），则要计算在该点的极限，然后看看要不要补充定义
  • 复合函数的连续性（同时连续才算连续）

• 有界闭区域上的连续函数

  • 有界
    • 用反证法，假设无界
  • 有最大值和最小值

  • 一致连续

    1. 设D是一个有界闭集，f(x,y)是定义在D上的二元连续函数。
    2. 根据有界闭集的性质，我们知道D上的任意点列都有收敛的子列，并且子列的极限点仍然在D

    3. $假设f(x,y)在D上不一致连续，那么存在\epsilon_0 > 0，以及点列{(x_n, y_n)}和{(x_n’, y_n’)}（n=1,2,3,\ldots），满足$

       $\lim_{n \to \infty} \sqrt{(x_n - x_n’)^2 + (y_n - y_n’)^2} = 0，但$

       $|f(x_n, y_n) - f(x_n’, y_n’)| \geq \epsilon_0。$

    4. $由于D是有界闭集，点列{(xn, y_n)}和{(x_n’, y_n’)}都有收敛的子列。设{(x{nk}, y{nk})}和{(x{nk}’, y{n_k}’)}是收敛的子列，且它们的极限分别为(x_0, y_0)和(x_0’, y_0’)。$

    5. 根据极限的性质，我们有

       $\lim{k \to \infty} \sqrt{(x{nk} - x{nk}’)^2 + (y{nk} - y{n_k}’)^2} = 0，即(x_0, y_0) = (x_0’, y_0’)。$

    6. 由于f(x,y)在D上连续，根据连续函数的性质，我们有

       $\lim{k \to \infty} f(x{nk}, y{nk}) = f(x_0, y_0) = f(x_0’, y_0’) = \lim{k \to \infty} f(x{n_k}’, y{n_k}’)。$

    7. $但是这与第三步中的结论|f(xn, y_n) - f(x_n’, y_n’)| \geq \epsilon_0矛盾，因为当k足够大时，|f(x{nk}, y{nk}) - f(x{nk}’, y{n_k}’)|应该小于\epsilon_0。$

    8. 因此，我们的假设——f(x,y)在D上不一致连续——是错误的，所以f(x,y)在D上一致连续。
  • 介值定理

偏导数与全微分

P180

偏导数

本质：把曲面取一个截面变成曲线，来研究曲线在某个方向的导数

注意：

1. 与一元函数可导就连续不同，二元函数偏导数存在不能完全反映曲面性质
2. 与一元函数可导即可微不同，二元函数必须偏导数连续，才可微

全微分

$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$

$dz = f_x(x_0, y_0) \Delta x + f_y(x_0, y_0) \Delta y$

二元函数的全微分是函数全该变量的线性主部（这后面在证明的时候有很大用，看变化量与全微分之差是不是距离的无穷小量）

dz其实是关于x, y, dx, dy的四元线性函数

而四者是独立的

所以在求二阶全微分的时候，有d(dx) = d(dy) = 0

• 题型：判断函数在某一点的可微性
  1. 用定理：偏导数存在且在这一点连续
  2. 用定义：（用定义）先求出偏导数，注意区分x_0, \Delta x，用全变化减去微分，看是不是o(\rho)
• 题型：求近似值
  1. 确定x_0, y_0, \Delta x, \Delta y
  2. $根据微分的定义，写出f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0) \Delta x + f_y(x_0, y_0) \Delta y$

高阶全微分

画出树状图

若f{xy}与f{yx}都连续则相等

$d^n u = \left( \frac{\partial}{\partial x} dx + \frac{\partial}{\partial y} dy \right)^n f(x, y)$

复合函数与隐函数微分

• 题型：直接考察求导
  • 画出树状图，用链式法则，注意区分乘法的求导法则
  • $du = \frac{\partial u}{\partial s} ds + \frac{\partial u}{\partial t} dt = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} \right) ds + \left( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \right) dt$
• 题型：复合函数
  • $例如F(xy, y+z, xz) = 0，求\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
    1. 假设确定隐函数z = z(x, y)
    2. 方程两边对x和y分别求偏导
    3. 联立方程

几何应用

求切向量法向量

• 曲线
  • 曲线只有切向量和法平面
  • $切向量\overrightarrow{\gamma} = (x’(t_0), y’(t_0), z’(t_0)) = (A, B, C)$
  • $如果曲线由两个曲面F, G的交线来定义，那么\overrightarrow{\gamma} = \left( \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}, \frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}, \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)} \right)$
• 曲面
  • 曲面只有切平面和法向量
  • $法向量\overrightarrow{n} = (F_x, F_y, F_z) = (A, B, C)$
  • 特别的，如果z = f(x, y)那么
• 共同的部分
  • 由一个向量求所在直线方程和垂直的平面方程
  • $直线方程（自由度为1，所以要两个方程来限定）：\frac{x - x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C}$
  • $平面方程（自由度为2，所以只需要一个方程）：A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

方向导数

$沿着l方向的方向余弦l_0 = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$

$梯度\nabla = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$

方向导数就是给梯度赋权，权值就是方向余弦

$所以\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla \cdot (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$

泰勒展开

$f(x0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = \sum{k=0}^n \frac{1}{k!} \left( \frac{\partial}{\partial x} dx + \frac{\partial}{\partial y} dy \right)^k f(x_0, y_0) + R$

隐函数存在定理

P225

单个方程的形式

$如果F(x, y)在某一点P_0(x_0, y_0)附近满足$

1. $F_x, F_y 连续$
2. $F(P_0) = 0 \space (通常为初始条件)$
3. $F_y(P_0) \ne 0 那么在P_0点附近存在唯一的隐函数y = f(x) 且在x_0邻域连续 且有连续的导数$

方程组的形式

$F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)满足$

1. 对各变元有一阶连续偏导,
2. $F(P_0) = G(P_0) = 0,$
3. $J|_{P_0} = \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)} \ne 0 那么在P_0附近唯一确定连续的隐函数u = u(x, y), v = v(x, y) 且有连续的导数$

• $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \cdot \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = 1$

极值与条件极值

P241

多元函数的极值

• 稳定点——所有偏导数都为0
• 极值的必要条件
  • 所有偏导数都为0
  • 注意不是充分条件（z = xy在(0, 0)偏导数都为0，但是在该点附近都有异号的函数值）
• D的定义：
  • $a{11} = f{xx}(x0, y_0), \space a{12} = f{xy}(x_0, y_0), \space a{22} = f{yy}(x_0, y_0), \space \ D = \left| \begin{matrix} a{11} & a{12} \ a{12} & a_{22} \end{matrix} \right|$
• 极值的判别（考察）
  • $（在该点的领域内有二阶连续偏导数）f_x(x_0, y_0) = f_y(x_0, y_0) = 0$
    • $若D > 0，当a{11}(a{22}) > 0 取得极小值；当a{11}(a{22}) < 0 取得极大值。$
    • 若D < 0 不是极值点
    • 若D = 0 不能判断
  • 证明：用泰勒公式
  • 做题：
    1. 求一阶偏导，令偏导为0得到稳定点（注意在求解方程的时候，可能会得到两个未知数之间的关系，这个时候一定要带回方程里完全解出来）
    2. 求二阶偏导，算D
    3. 看a_{11}的符号

最小二乘法

本质上就是给了一个误差函数，求这个误差函数的极小值

• $f(a, b) = \sum_{i=1}^{n} (ax_i + b - y_i)^2$
  1. 对他求一阶导，令一阶导数为0，得到方程组
  2. 用克拉默法则解方程（注意a和b才是未知数）

多元函数的最值

一句话：可能的最值点包括可能的极值点和边界点

所以先求出极值点，以及边界值，然后做对比即可

条件极值

• 什么叫条件极值
  • 在整个空间里的叫做无条件极值
  • 有方程约束范围的叫做条件极值
    • 每个（方程）条件就相当于一个隐函数，可以带入消元
    • 思想：化为无条件极值求解

拉格朗日乘数法

对于上面提到的条件极值

$假设f(x, y, u, v)在约束条件 \begin{cases} F(x, y, u, v) = 0,\ G(x, y, u, v) = 0\ (F ,G不重) \end{cases} \space在P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)点取极值\ 那么存在唯一的\lambda_1, \space \lambda_2, \space \s.t. \begin{cases} L_x(P_0) = L_y(P_0) = L_u(P_0) = L_v(P_0) = 0,\ F(P_0) = G(P_0) = 0 \end{cases}\ 其中L = f + \lambda_1 F + \lambda_2 G$

• 做题
  1. 写出拉格朗日函数
  2. 求导，令导函数为0
  3. 解方程得到稳定点
  4. 通过极值的判断条件来判断
     1. 求二阶导数（求之前要用隐函数存在定理确定导数存在）
     2. D
     3. a_{11}

含参变量的积分

P270

一般情况

• 首先我们要理解什么叫含参变量的积分

$每一个[a, \ b]上固定的x_0,\ 对应的\int_c^d f(x_0, y) dy都是一个[数]\ 当x变动的时候，就定义了一个[函数]\I(x) = \int_c^d f(x, y) dy, x \in [a, b],\ 参变量为x$

• 性质
  • f 连续，I 就连续
  • 放心交换积分和极限
  • 只要偏导数连续就放心求导I’(x) = \int_c^d f_x(x, y) dy
• 题型：给你一个含参变量的函数，要求把其他变量消掉
  • 大胆对内求导
  • 把关于y的积分算出来（消掉y）
  • 求x的积分
  • 确定常数C
• 题型：要求主动引入参变量的积分（压轴题）
  • 引入参变量\alpha \in [0, 1]，原来的I = I(1)，最好保证I(0) = 0（有利于后面构造积分）
  • 对内求导数
  • 把关于x的积分算出来
  • $I = I(1) = I(1) - I(0) = \int_0^1 I’(\alpha) d\alpha$
  • 求出积分即可

积分上下限也依赖于参数x P265

$I(x, u) = \int_c^u f(x, y) dy$

请尤其关注这个式子

$\frac{d (\int_c^x f(t) dt)}{dx} = f(x)\ 变上限积分的导数为原函数$

• 性质：
  • f连续则I连续，放心求导，导函数存在且连续
  • 不用担心连续问题：
  • $f在[a, b] \times [c, d]连续,且c(x), d(x)也在[a, b]连续,有导数, c < c(x), d(x) < d,\ F(x) = \int{c(x)}^{d(x)} f(x, y) dy 连续\ 且F’(x) = \int{c(x)}^{d(x)} f_x(x, y) dy + f(x, d(x)) d’(x) + f(x, c(x)) c’(x)\链式法则(分别对x，c，d求导) + (17) + 复合函数求导$
• 做题：求正常求不出来的积分的导数
• 性质：放心积分交换次序
  • $\int_a^b dx \int_c^d f(x, y) dy = \int_c^d dy \int_a^b f(x, y) dx$

重积分

P292

三重积分交换次序

• $对于\int_a^b dx \int_c^d dy \int_e^f f(x, y, z) dz的两种理解$
  • $\inta^b [\iint{D_z} dx dy] dz即先对特定z求切片面积，再对z求积分$
  • $[\iint{D} dx dy] \int{\psi(x, y)}^{\varphi(x, y)} f(x, y, z) dz即在xOy平面投影，作垂线，两个交点，做差，再对投影面积积分$
• 不需要在意原理，只需知道两两可以交换次序（变成二重积分）
  • $(\int_a^b dx \int_c^d dy) \int_e^f dz$
  • $\int_a^b dx (\int_c^d dy \int_e^f dz)$

三重积分的换元

$关键是雅可比行列式\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$

曲线与曲面积分

第一型曲线积分

可以理解成线密度质量的模型

由于微分转化的时候用的是平方，无方向

• $做计算题， 一般给出的形式为\int_L f(x, y, z) ds$
  • 用参数来表示
  • $ds = \sqrt{x’^2(t) + y’^2(t) + z’^2(t)} dt$
  • 转化为普通定积分

第二型曲线积分

可以理解成变力做功的模型

dx/dy/dz给定了方向

• $做计算题，一般给出的形式为\int{L{ab}} (x^2 + y^2) dx + 4xy dy$
  • 寻找参数（可以是极坐标也可以是曲线方程）
  • 对参数求导，转化微分
  • 带入，转化为普通定积分求解

第一型曲面积分

最显著的特征在于，积分区域变了，原来是XoY平面，现在变成了某一曲面

可以将函数看作是曲面的面密度（与方向没有任何关系）

思想：将曲面投影到XoY平面，曲面上的一点唯一对应XoY上的一点，面积之比为这个点的梯度。从而转化为熟知的二重积分。

• $做计算题，一般给出的形式为\iint_S xyz ds$
  • $\iint_S f(x, y, z) ds = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + z_x^2(x, y) + z_y^2(x, y)} dx dy$
  • 转化为重积分解决
• 如果用参数表示，只需要
  • $r_u = \left( \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u} \right) \ r_v = \left( \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v} \right)$
  • $E = r_u \cdot r_u, F = r_u \cdot r_v, G = r_v \cdot r_v$
  • $ds = \sqrt{EG - F^2} dx dy$
  • 转化为重积分解决
• $特别地，如果三维的积分区域退化到二维，偏导数项为0，\iint_S f(x, y, z) ds = \iint_D f(x, y, z(x, y)) dx dy也就是一个普通的二重积分$

第二型曲面积分

$本质上是通过法向量\overrightarrow{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)来链接，\overrightarrow{n} \cdot d\overrightarrow{s} = (dy dz, dz dx, dx dy)$

• $做计算题，一般给出的形式为I = \iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy$
  • 看有无对称性
  • 投影到对应平面
  • 消元（用已知量或者方程带入）
  • 转化为重积分解决

各种积分之间的联系

格林公式

$由逐段光滑的曲线围成的单连通区域, P、Q有一阶连续偏导数\ \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \oint_L P dx + Q dy$

补充

• 补充克拉默法则
  • $对于一个二元一次方程组：\ a_1 x + b_1 y = c_1\ a_2 x + b_2 y = c_2\ 其中，a_1、b_1、c_1、a_2、b_2、c_2都是已知的常数，而x和y是未知数。\根据克拉默法则，方程组的解可以通过以下公式来表示：\ x = \frac{D_1}{D}, \space y = \frac{D_2}{D}\ 其中，D是方程组的系数行列式，\D_1是将方程组的常数列替换掉x的系数列所得到的行列式，\D_2是将方程组的常数列替换掉y的系数列所得到的行列式。$
• 处理$\int \sec^3 x dx$
  • 我们用分部积分，可以实现降次
  • $\int \sec^3 x dx = \int \sec x d(\tan x) = \sec x \tan x - \int \tan x d(\sec x)\ 而\int \tan x d(\sec x) = \int \tan^2 x \sec x dx = \int (\sec^2 x - 1) \sec x dx = \int (\sec^3 x - \sec x) dx$
  • 接下来移项即可

期末考试押题

• 2*广义积分
  • 迪利克雷/Abel
• 函数项级数的收敛域
  • 根值法
  • 达朗贝尔
• 幂级数的和函数（展开）
  1. 收敛域
  2. 看模板
  3. 有分母微分，无分母积分
  4. 结合实际情况写出收敛域（否则扣分
• 傅里叶级数的展开
  • 延拓
• 求偏导数
  • 链式法则
  • 方程组
  • 隐函数求解法
• 极值与条件极值
  • 拉格朗日乘数法
• 二元的微分中值定理
• 重积分
• 第一、二型曲线积分
  • 参数化表示
• 格林公式
  • 积分与路径无关
  • 求原函数
• 第一型曲面积分